Loi d'Ohm:

Cas d'une résistance:

\[\mathsf{U = R⋅I}\]

U: tension aux bornes de la résistance en volts (V); R: résistance en Ohms (Ω); I: l'intensité du courant en Ampères (A).

La loi d'Ohm peut être appliquée à un composant ou à un groupe de composants.

Lois de Kirchoff:

Loi des mailles:

Dans le montage ci-dessous comportant des récepteurs montés en série, la tension de la source est égale à la somme des tensions aux bornes de chaque récepteur.

\[\mathsf{U = U_{R1} + U_{R2}}\]

En règle générale, la somme des tensions le long d'une maille fermée est nulle.

Loi des noeuds:

La somme des courants qui arrivent à un noeud est égale à la somme des courants qui en repartent.

\[\mathsf{I_1 + I_2 = I_3 + I_4}\]

Pont diviseur de tension:

La tension aux bornes de R₂:

\[\mathsf{U_{R2} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}U}\]

En procédant par calcul:

\[\mathsf{U=U_{R1}+U_{R2}=R_1.I +R_2.I}\]

\[\mathsf{U = (R_1 + R_2)I  \implies I = \frac{U}{R_1+R_2}}\]

\[\mathsf{U_{R2} = R_2.I \;donc\; U_{R2} = \frac{R2}{R_1+R_2}U}\]

Diviseur de courant:

Le courant total est partagé en deux. La résistance R₁ divisée par la somme des résistances détermine la quantité de courant qui traverse R₂:

\[\mathsf{I_2 = \frac{R_1}{R_1+R_2}I}\]

Par calculs:

\[\mathsf{I = I_1 + I_2}\]

\[\mathsf{V = R_1I_1 = R_2I_2}\]

\[\mathsf{I = I_2\frac{R_2}{R_1} + I_2}\]

Soit:

\[\mathsf{I_2 = \frac{R_1}{R_1+R_2}I}\]

Théorème de Thévénin:

Le réseau linéaire (U - R₁ - R_2; voir figure de l'exemple ci-après) vu des bornes A et B est équivalent à une source de tension E_Th égale à la tension entre les points A et B, de résistance interne R_Th ayant pour valeur la résistance équivalente vue des bornes A et B lorsque toutes les sources de tensions sont mises en court-circuit; la charge étant débranchée.

Exemple:

Calcul du générateur de Thévénin équivalent au montage à gauche des points A et B.

On commence par débrancher la charge (réseau R_L - C_L); le montage devient:

La tension U_AB est déterminée par pont diviseur de tension:

\[\mathsf{E_{Th} = U_{AB} = \frac{R_2}{R_1+R_2}U}\]

A présent le générateur est mis en court-circuit. Vue des bornes A et B, le montage est réduit à R₁ et R₂ en parallèles.

\[\mathsf{R_{Th} = R_{AB} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}\]

Montage équivalent:

Théorème de Northon:

Il s'applique lui aussi aux réseaux linéaires. Dans ce cas toutes les sources sont équivalentes à une source de courant I_N (courant de court-circuit) lorsque les deux points A et B sont reliés, en parallèle avec une résistance équivalente R_N vue des bornes A et B lorsque tous les générateurs de tensions sont mis en court-circuit et les générateurs de courant débranchés.

Exemple:

Calcul du générateur de Northon équivalent vu de la charge branchée entre les points A et B:

Les deux points A et B sont reliés:

Le courant de court-circuit:

\[\mathsf{I_N = i_1 + i_2 = \frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{R_2}}\]

La résistance équivalente est calculée lorsque toutes les sources de tensions sont mises en court-circuit et la charge débranchée:

\[\mathsf{R_N = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}\]

Le générateur de Northon se réduit au montage ci-dessous:

Théorème de superposition:

Il peut être appliqué aux circuits linéaires lorsque les sources sont indépendantes. Les tensions et les courants de chaque branches peuvent être calculés séparément en mettant à tour de rôle en court-circuit chacune des sources de tension.

Exemple:

Calcul de la tension U_OUT du réseau ci-dessous:

1 -  la source U₂ est mise en court-circuit (liaison à la masse); seule U₁ fonctionne; le circuit devient:

Les résistances R₂ et R₃ sont en parallèle. Posons R₂ || R₃  = R₂₃

A l'aide du pont diviseur de tension,

\[\mathsf{U_{OUT2} = \frac{R_{23}U_1}{R_{23}+R_1}}\]

2 - la source U₁ est mise à son tour en court-circuit; seule U₂ fonctionne; le circuit devient:

Posons R₁ || R₃ = R₁₃

A l'aide du pont diviseur de tension;

\[\mathsf{U_{OUT1} = \frac{R_{13}U_2}{R_{13}+R_2}}\]

Et pour finir,

\[\mathsf{U_{OUT} = U_{OUT1} + U_{OUT2} = \frac{R_{13}U_2}{R_{13}+R_2} + \frac{R_{23}U_1}{R_{23}+R_1}}\]

Il suffit de déterminer R₁₃ et R₂₃, puis de les substituer dans l'équation précédente pour trouver U_OUT.

Théorème de Millman:

Dans un réseau contenant plusieurs branches en parallèles ayant chacune un générateur de tension parfait en série avec un composant linéaire (une résistance par exemple), la tension aux bornes des branches est égale à la somme des quotients des f.e.m. de chaque branche divisée par l'impédance de la branche, le tout divisé par la somme des inverses des impédances de chaque branche.

Exemple:

Calcul de la tension V_A dans le montage suivant:

D'après le théorème:

\[\mathsf{V_A=\large{\frac{\frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{R_3}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}}}\]

Application numérique:  U₁ = 28 V; U₂ = 7 V;  R₁ = 4 Ω; R₂ = 2 Ω; et R₃ = 1 Ω.

\(\mathsf{V_A = \large{\frac{(28/4)+(7/1)}{1/4+1/2+1/1}} = 8 V}\).

JtBB